分枝限定法とか、ネットワークフローとか

きのうの授業の続きをメモメモ



・分枝限定法
　整数混合問題とか、計算時間がかかる
　ナップザック問題を例に

分枝木（ブランチングツリー）
　X1,X2,X3,X4に０か１をとる
　２の４乗の枝→全部見れば、当然分かる
　　制約式上、ないところがある
　　ありえるところだけ、目的関数を当てはめる

・途中で制約式をみたさず、ありえないもの
　　→書く必要ない（限定操作：バウンディング）
　　　上から書いていく：深さ優先対策

・実行可能解が見つかる
　　最良が早めに見つかると、そのあとやらなくてよい
　　限定

・整数計画問題と線形緩和
　整数計画問題Xの最適値　＜＝　線形緩和の最大値

・はじめに線形緩和問題を解いておく
　決まった情報を入れた緩和問題を解いておく

→限定操作で探索する領域を狭くする
　→そのために部分的な線形問題を解く

途中で何回もといている
　→途中の線形計画問題を早く解けるか
　→高々にきつい値がでる　数値の動く幅があまり違わない
うまい式で書くと、早く終わる

ソルバーでも式を加えている。
商用ソフトのほうが、だいぶ早い

分枝限定法のコメント
　　カット
　同じ式なんだけど、うまいものと、そうでないものがある。


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ネットワークフロー
・完全ユニモジュラー行列

　凸包とファセットと切断面
　　ファセットをみつけるのはむずかしい
　　ファセットに近い断面（カッティングプレーン）をみつけて、
　　狭めていく
　　　→

・完全ユニモジュラー

　部分行列をとってくる。このとき正方行列なら、行列式がつくれる
　　→小行列式
　任意の小行列式が、０，１、−１なのが、完全ユニモジュラー


完全ユニモジュラーだと整数多面体
→ファセットで解けるかんじ

＜＜割と使える定理＞＞
行の部分集合を、うまい分割によって、
R1,R2に分けて、どのれつ足して引いても、−１，０，１

接続行列
　ネットワークの多くは接続行列で、
　接続行列は、完全ユニモジュラー

ネットワークフロー：最小費用流問題
ノードの数字：湧き出し吸い込み
アーク：（費用、容量）

　専用の解放
　　ネットワークフロー
　　ネットワーク単体法
枝容量が整数なら、整数最適解が存在する

整数計画問題：分枝限定法以上、うまい方法があるかどうか未解決

航空スケジュール

ヒッチコック型輸送問題
供給拠点　使いたい拠点
　→最小費用流でとく（細工必要）



ネットワーク設計問題

・シュタイナー木
・サバイバルネットワーク設計

（ユークリッド版）シュタイナー木
　　３点を結ぶ→１２０度の分岐点を作る
　　点の数が多くなるとむずかしい。

（グラフ上の）シュタイナー木問題
　　グラフがある
　　ターミナル集合
　　重み

　　全ターミナルを接続する
　　重み最小

賞金獲得型シュタイナー木問題
最小全域木問題：ミニマムスパニングツリー
　　→貪欲アルゴリズム

サバイバルネットワーク設計問題
　　ノード
　　名前
　　接続要求量
　　　→枝を共有しないパスが存在
　　　　これが１だと、シュタイナーツリー

とき方
　ある点から、他の点に何かを流す

多品種流問題
→線形計画問題として記述でき、解けるが
　線形計画以外のうまい方法が、いまだ見つかっていない
　パイプを設定したら、流すことができる
　　それぞれの品種で容量１
　　始点終点は、適当な量