整数計画問題と、ソルバーのSCIPとか

きのうの授業、最適化の「整数計画問題」関係のまとめをメモメモ



ワイン生産計画問題

SCIP（スキップ）：フリーの混合整数計画ソルバー
http://scip.zib.de
ドイツの「じぶ」というところ

LPフォーマットで問題を記述

read 読み込みファイル
optimize
write solution ファイル名

参考文献１にある（Webにしかない）
整数計画問題のときは、キーワードhttp://www.tuat.ac.jp/~miya/ipmemo.html#SECTION04

単体法
　単純です。早い
　指数時間かかる→実際には改造すると、早い？

楕円体法
　実用的には遅い

内点法
　多項式的に早く
　実際にも早い

実際には、単体法と内点法のハイブリッド
　　一発問題を解くなら内点法
　　似た問題を解くなら単体法

単体法の基本的なアイデア
　　行列の基本変形をシステマチックにするのが、単体法！

辞書（むかしは、タブローで説明→手で書くことない）

（１）不等式を等式で表現（変数を追加して等式にする）
　Z=にして、Zを最大
（２）その変数、およびZをならべ、
　　追加した変数＝数字＋変数・・・
　にしていく。そうして、
・ピボット操作を繰り返す

作図で解く方法
・解をとる空間をつくる
・はじめ原点
・１個だけ変数ふやす点
・２個変数増やす点
・３個変数決めた点へ・・

問題点
・有限回で終わるか？
　→巡回する場合がある
　→うまいルール（ブランドのルール：添え字の小さい順）を使うとOK

・いつでもスタートできる
　→負の定数：２段階法（実行可能解を見つける）

・問題が等式だったら？
　→細かいこといろいろあるけど、省略

・単体：２次元空間　三角形
　　　　３次元空間　４面体
　だんてぃぐは早いと確信していた

双対
だんてぃぐ：どうすれば、早く解ける？
ノイマン：

主問題
　　max. CTX
　　s.t. Ax ≦ b

双対問題
　　min. yTb
　　ST yTA=CT
　　　　y≧0
（T ：　転置行列を示す）

反射的：双対問題の双対問題は主問題
弱双対性：xとyがそれぞれの問題で実行可能→CTx<yTb
強双対性：実行可能解がある→最適解をもちCTx＝yTb

変形方法
・（大きな）行列を用いる→あんまりよろしくない
・ラグランジュ緩和
　　→制約を破るとペナルティになる／制約をなくした
　　→y1,y2,y3を追加：ラグランジュ乗数
　　　　→ラグランジュの未定乗数法の、あの乗数
　　→上界をおさえる
・yについてまとめたものを、xについてまとめなおす

・s-t最短路問題
　　→Totally Unimodular：線形緩和

更なるトピック
・どっちを解く？
　　主双対｛単体、内点｝法→両方を使う
・主問題と双対問題
　　　→かならず１個あるが、解けるかどうか分からない
　　　　（解がない・いくらでも解がある）

<HR>

整数計画問題
・ナップザック問題
　制約式１本

・彩色問題
　　スケジュール立てる問題と同じ
　（１）色を数値

・うまい式を作れるかどうか

・ベンチマーク
　MIPLIB2010
http://miplib.zib.de/miplib2010.php

次回：ブランチ＆バウンド、ブランチ＆カット

＜＜Q&A＞＞
非線形：局所解はでるけど、全体最適は少ない変数でないときつい